درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی و آمار (3) کلاس دوازدهم ادبیات و علوم انسانی
درس 1: دنبالۀ هندسی
آیا ممکن است پس از پایان کلاس ریاضی امروز و شنیدن صدای زنگ تفریح، هنگامی که از جای خود بلند میشوید و بدون توقف به سمت در کلاس حرکت میکنید هیچگاه به در خروجی نرسید؟
این مسئلهای است که فیلسوف یونانی، زنو، بیش از دو هزار سال پیش مطرح کرد و به پارادکس زنو معروف است. او چنین استدلال کرد:
زمانی که از جای خود بلند میشوید تا به در خروجی برسید ابتدا نصف مسافت تا در خروجی را طی میکنید و سپس نصف مسیر باقی مانده را طی میکنید و به همین ترتیب، نصف مسیر باقی مانده و... و این روند همیشه ادامه خواهد داشت.
بنابراین، هیچگاه به در خروجی نخواهید رسید! زیرا هر چند هرکدام از فاصلهها نصف فاصلهٔ پیشین است، هیچ کدام از این فاصلهها صفر نخواهند شد و همواره مسافتی وجود دارد که باید طی شود.
به بیان دیگر، اگر با سرعتی ثابت بخواهیم بدون توقف در کلاس به در خروجی برسیم و فرض کنیم برای طی مسافت ${a_1}$ زمان $t$ لازم بوده است پس برای طی مسافت ${a_2}$ به زمان $\frac{t}{2}$ نیاز داریم. بنابراین:
$T = t + \frac{t}{2} + \frac{t}{4} + ...$ زمان رسیدن به در خروجی کلاس
و چون جملات دنباله ... و $\frac{t}{4}$ و $\frac{t}{2}$ و $t$ هیچگاه صفر نمیشوند، پس $T$ از مجموع بیشمار جمله تشکیل شده است؛ از این رو مقدار $T$ نیز بینهایت خواهد بود!
بیش از دو هزار سال زمان نیاز بود تا به این تناقض پاسخ قطعی داده شود. حل این مسئله در ریاضی به ایجاد شاخهای به نام «سریهای هندسی و محاسبهٔ مجموع آنها» انجامید که در ادامهٔ این درس برخی از مفاهیم آن را بیان خواهیم کرد. با بیان این مفاهیم، نگرانی شما نیز حل میشود و درمییابید که چرا به در خروجی کلاستان خواهید رسید.
میزان حذف دارو و مادهٔ مؤثر آن در خون عموماً، مانند فعالیت صفحه 68، با سرعت ثابت از جریان خون حذف نمیشود و در تعداد زیادی از داروها مادهٔ مؤثر یک دارو با توجه به «نیمهعمر مادهٔ مؤثر» دارو در بدن کاهش مییابد. فعالیت زیر، تأثیر مفهوم نیمه عمر را در ضابطهٔ تابعی دنباله مشخص میکند.
فعالیت (صفحه 75 کتاب درسی)
شخصی 100 میلی گرم از دارویی که نیمه عمر آن یک ساعت است، مصرف کرده است. با توجه به نمودار «میزان دارو در خون - زمان» به سؤالهای زیر پاسخ دهید.
الف) میزان دارو در بدن شخص پس از چند نیمه عمر، کمتر از 20 میلیگرم خواهد بود؟ آیا میتوانید مشخص کنید میزان دارو در بدن شخص در چه زمانی صفر خواهد شد؟ چرا؟
ب) اگر ${a_n}$ میزان داروی موجود در بدن شخص پس از $n$اُمین نیمه عمر باشد، رابطهٔ بازگشتی میزان دارو در بدن شخص چگونه است؟
با توجه به تعریف دنباله ${a_n}$ و نیز تعریف نیمه عمر، هر جملهٔ دنباله از حاصل ضرب عدد ثابت ...... در جملهٔ پیشین بهدست میآید؛ یعنی:
${a_1} = 50\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_{n + 1}} = ...........{a_n}$
ج) ضابطهٔ تابعی (جملهٔ عمومی) دنباله را مشخص کنید.
${a_1} = 50\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_2} = \frac{1}{2} \times 50\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_3} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} \times 50) = {(\frac{1}{2})^2} \times 50\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_4} = .........$
$ \Rightarrow {a_n} = ...... \times 50$
به دنبالههایی از اعداد که هر جملهشان به جز جملهٔ اول از ضرب یک عدد ثابت مخالف صفر در جملهٔ پیشین بهدست میآید، دنبالهٔ هندسی گفته میشود. عدد ثابت را نسبت مشترک مینامند و عموماً با $r$ نشان میدهند.
کار در کلاس (صفحه 76 تا 77 کتاب درسی)
1) جدول زیر را کامل کنید.
| جملۀ عمومی دنباله | ضابطۀ بازگشتی | پنج جملۀ اول | نسبت مشترک | جملۀ اول |
| ${a_n} = {(\frac{1}{3})^{n - 1}}$ | ${a_{n + 1}} = \frac{1}{3}{a_n}$ ${a_1} = 1$ |
$1\,,\,\frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{9}\,,\,\frac{1}{{27}}\,,\,\frac{1}{{81}}$ | $r = \frac{1}{3}$ | ${a_1} = 1$ |
| $r = \frac{3}{2}$ | ${a_1} = \frac{1}{{81}}$ | |||
| ${a_{n + 1}} = ( - \frac{1}{2}){a_n}$ ${a_1} = 4$ |
$r = - \frac{1}{2}$ | ${a_1} = 4$ | ||
| $1\,,\,\frac{1}{5}\,,\,\frac{1}{{25}}\,,\,\frac{1}{{125}}\,,\,\frac{1}{{625}}$ | ||||
| ${a_n} = 100{(\frac{1}{4})^{n - 1}}$ |
2) با توجه به جدول بالا، در هر دنبالهٔ هندسی بهصورت ${a_n} = {a_1}{r^{(n - 1)}}$ با فرض ${a_1} > 0$:
الف- اگر $0 \lt r \lt 1$ دنبالهٔ ${a_n}$، $\square $ افزایشی $\square $ کاهشی $\square $ ثابت است.
ب- اگر $r \gt 1$، دنبالهٔ ${a_n}$، $\square $ افزایشی $\square $ کاهشی $\square $ثابت است.
ج- اگر $r = 1$، دنبالهٔ ${a_n}$، $\square $ افزایشی $\square $ کاهشی $\square $ ثابت است.
کار در کلاس (صفحه 77 کتاب درسی)
ضابطهٔ بازگشتی دنبالهٔ هندسی $a\,,\,ar\,,\,a{r^2}\,,\,a{r^3}\,,\,...$ را مشخص کنید.
کار در کلاس (صفحه 77 کتاب درسی)
(هزینۀ استهلاک) - شخصی یک یخچال فریزر به قیمت 960 هزار تومان خریده است. هزینهٔ استهلاک این یخچال هر سال معادل % 10 ارزش سال پیش آن است. اگر ${v_n}$ ارزش یخچال فریزر، $n$ سال پس از خرید باشد:
الف) ضابطهٔ تابعی دنبالهٔ ${v_n}$ را بهدست آورید.
با توجه به هزینهٔ استهلاک % 10، ارزش یخچال فریزر در هر سال % 90 سال قبل خواهد بود؛ یعنی:
${v_1} = 960,000$
${v_2} = 960,000 \times \frac{{90}}{{100}} = .......$
${v_3} = .........$
${v_n} = .........$
ب) بیشترین کاهش ارزش یخچال فریزر در چه سالی است؟ آیا میتوانید کمترین کاهش ارزش آن را مشخص کنید؟ چرا؟
با توجه به اینکه ارزش یخچال در هر سال % 10 کاهش مییابد، هر چه ارزش آن بیشتر باشد میزان % 10 آن بیشتر خواهد بود. بنابراین ...
ج) چرا ارزش یخچال فریزر پس از ده سال صفر نمیشود؟ با چه فرضی ارزش یخچال پس از 10 سال صفر میشود؟ ضابطهٔ ${v_n}$ را بهگونهای بنویسید که ارزش یخچال فریزر پس از ده سال صفر شود. دنبالهٔ ${v_n}$ در این حالت حسابی است یا هندسی؟
د) اگر مطابق فرض مسئله، شخص بخواهد یخچال فریزر را زمانی بفروشد که ارزش آن کمتر از نصف قیمت خریداری شده باشد، چند سال پس از خرید باید آن را بفروشد؟
(راهنمایی: با توجه به قیمت خرید اولیه، 960 هزار تومان، نصف ارزش آن 480 هزار تومان است.پس، باید نخستین عدد $n$ را که نامساوی ${v_n} \lt 480,000$ را تأمین میکند، مشخص کنیم.)
هـ) با توجه به قسمتهای ب و ج، تفاوت حالتی که از جملات دنباله در هر مرحله، $k$ واحد کسر شود، با حالتی که $k$ درصد از آن کسر شود چیست؟ کدام حالت بیانگر یک دنبالهٔ حسابی و کدام حالت بیانگر یک دنبالهٔ هندسی است؟
کار در کلاس (صفحه 78 کتاب درسی)
طبق آزمایشهای انجام شده، نیمه عمر مادّهٔ کافئین برای یک شخص بالغ و سالم شش ساعت است. اگر یک لیوان بزرگ چای سیاه یا یک فنجان قهوه 80 میلیگرم کافئین داشته باشد، پس از چند نیمه عمر یا چند ساعت یک شخص میتواند چای یا قهوه مصرف کند؟ (با در نظر گرفتن اینکه اگر میزان کافئین در بدن کمتر از 0/5 میلی گرم باشد، هیچ نوع وابستگی به این ماده در بدن ایجاد نمیشود.)
خواندنی
امروزه چای و قهوه از محبوبترین نوشیدنیها در میان مردم در تمام کشورها و فرهنگها هستند. هر دوی این نوشیدنیها باعث تمرکز بیشتر، جلوگیری از خواب آلودگی و رفع خستگی میشوند. تمامی این تأثیرها به سبب وجود مادّهٔ کافئین در آنهاست. البته باید بدانیم که مصرف متعادل این نوشیدنیها مفید است ولی وارد شدن بیش از اندازهٔ کافئین به بدن منجر به اضطراب، تپش قلب، بیخوابی و... میگردد. مصرف بیش از اندازهٔ آن به نوعی در افراد ایجاد وابستگی و عادت میکند؛ تا جایی که اگر این نوشیدنیها را مصرف نکنند، دچار مشکلاتی چون سردرد میشوند.
یکی از دلایل توصیهٔ پزشکان به پرهیز از نوشیدن چای و قهوه، همین وابستگی و تأثیرات منفی نوشیدن بیش از اندازهٔ آنهاست.
توجه به نیمه عمر مادّهٔ کافئین میتواند راهنمای خوبی برای مصرف صحیح این نوشیدنیها باشد.
فعالیت (صفحه 79 تا 80 کتاب درسی)
برای درمان شخصی که مبتلا به نوعی گلودرد عفونی است، پزشک معالج قرصهای آنتیبیوتیک حامل 80 میلیگرم آنتیبیوتیک تجویز کرد. با توجه به اینکه نیمه عمر این آنتیبیوتیک هشت ساعت است، شخص بیمار باید در پایان هر هشت ساعت پس از خوردن قرص پیشین، این قرصها را مصرف کند.
الف) با کامل کردن جدول زیر، میزان آنتیبیوتیک موجود در بدن شخص بیمار را پس از سه و شش بار مصرف قرص مشخص کنید.
ب) با یک «رابطهٔ بازگشتی» میزان آنتیبیوتیک در بدن شخص بیمار را پس از $n$ بار مصرف قرص مشخص کنید.
ج) آیا میتوانید میان تعداد قرص مصرفی و میزان آنتیبیوتیک موجود در بدن شخص بیمار رابطهای مشخص کنید؟ (ضابطهٔ تابعی دنباله)
د) با جایگذاری مقادیر $n = 1$ تا $n = 6$ در رابطهٔ بهدست آمده در قسمت ج، صحت اعداد بهدست آمده در جدول الف را بررسی کنید.
الف) اگر «${S_n}$» میزان آنتیبیوتیک موجود در بدن شخص بیمار پس از $n$ بار مصرف قرص باشد، با توجه به فرضهای مسئله:
| (میلیگرم) ${S_n}$ | زمان مصرف | تاریخ مصرف | $n$ تعداد مصرف |
| ${S_1} = 80mg$ | 00:00 بامداد | 15 بهمن | 1 |
| ${S_2} = \frac{1}{2}{S_1} + 80 = 40 + 80 = 120$ | 8:00 صبح | 15 بهمن | 2 |
| ${S_3} = \frac{1}{2}{S_2} + 80 = 60 + 80 = $ | 4:00 بعد از ظهر | 15 بهمن | 3 |
| ${S_4} = ................. + 80 = .................$ | 00:00 بامداد | 16 بهمن | 4 |
| ${S_5} = .................\,\,\,\,\,\,\,\,\, = .................$ | ........... | 16 بهمن | 5 |
| ${S_6} = ................. + ................. = $ | ........... | ........... | 6 |
ب) با توجه به نحوهٔ کامل کردن جدول بالا، رابطهٔ بازگشتی میزان آنتی بیوتیک در بدن شخص پس از $n$ بار مصرف دارو از رابطهٔ زیر مشخص میشود:
${S_{n + 1}} = .......... + \frac{1}{2}{S_n}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{S_1} = ........$
ج) برای نوشتن ضابطهٔ تابعی دنبالهٔ ${S_n}$ برحسب $n$، اگر میزان آنتیبیوتیک هر قرص را $A$ میلیگرم در نظر بگیریم (در این مسئله $A = {80^{mg}}$ است)، با استفاده از رابطهٔ بازگشتی بهدست آمده در قسمت ب:
${S_1} = A$
${S_2} = A + \frac{1}{2}{S_1} = ....$
${S_3} = .... + .... = A + \frac{1}{2}(A + \frac{1}{2}A) = A + \frac{1}{2}A + {(\frac{1}{2})^2}A$
به همین صورت برای محاسبهٔ ${S_6}$:
${S_6} = A + \frac{1}{2}A + {(\frac{1}{2})^2}A + .... + {(\frac{1}{2})^{...}}A$
پس برای محاسبهٔ مجموع آنتیبیوتیک در بدن شخص پس از $n$ بار مصرف:
${S_n} = A + \frac{1}{2}A + {(\frac{1}{2})^2}A + .... + {(\frac{1}{2})^{n - 1}}A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
اگر طرفین رابطهٔ (1) را در ضریب $\frac{1}{2}$ ضرب کنیم:
$\frac{1}{2}{S_n} = \frac{1}{2}A + .... + .... + ....\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
با تفاضل رابطهٔ (1) از (2) رابطهٔ زیر بهدست میآید:
${S_n} - \frac{1}{2}{S_n} = A - {(\frac{1}{2})^n}A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{S_n}(1 - \frac{1}{2}) = A(1 - {(\frac{1}{2})^n})$
$ \Rightarrow {S_n} = A \times \frac{{1 - {{(\frac{1}{2})}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{S_n} = 2A(1 - {(\frac{1}{2})^n})$
بنابراین، با فرض این مسئله $A = {80^{mg}}$، مجموع میزان آنتیبیوتیک پس از $n$ بار مصرف:
${S_n} = 160(1 - {(\frac{1}{2})^n})$
د) با توجه به رابطهٔ بهدست آمده برای ${S_n}$:
${S_1} = 160(1 - {(\frac{1}{2})^1}) = 160 \times \frac{1}{2} = 80$
${S_2} = ..........$
${S_6} = ..........$
کار در کلاس (صفحه 80 کتاب درسی)
در فعالیت بالا:
الف) مقادیر $a$ و $r$ را مشخص کنید.
ب) ضابطههای دنبالههای ${a_n}$ و ${S_n}$ را بنویسید. با توجه به این ضابطه معنای ${a_3}$ و ${S_3}$ چیست؟
کار در کلاس (صفحه 81 کتاب درسی)
1) جدول زیر را کامل کنید. (در صورت نیاز از ماشین حساب استفاده شود.)
| ${S_n}$ مجموع $n$ جملهٔ اول | $r$ (نسبت مشترک) | ${a_1}$ (جمله اول) | جملات دنباله |
|
${S_5} = \frac{{\frac{1}{2}(1 - {{(\frac{1}{3})}^5})}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{121}}{{162}}$ ${S_{10}} = $ |
$r = \frac{1}{3}$ | ${a_1} = \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}\,,\,\frac{1}{6}\,,\,\frac{1}{{18}}\,,\,\frac{1}{{54}}\,,\,...$ |
|
${S_4} = $ ${S_8} = $ |
$r = .............$ | ${a_1} = .............$ | $\frac{1}{4}\,,\,\frac{1}{{16}}\,,\,\frac{1}{{64}}\,,\,...$ |
|
${S_3}$ ${S_9} = $ |
$r = .............$ | ${a_1} = .............$ | $\frac{2}{5}\,,\,\frac{1}{5}\,,\,\frac{1}{{10}}\,,\,...$ |
| ${S_6} = $ | $r = .............$ | ${a_1} = .............$ | $\frac{2}{5}\,,\,2\,,\,10\,,\,...$ |
2) نمودار زیر یک دنبالهٔ هندسی را مشخص میکند. با نوشتن سه جملهٔ اول آن و محاسبهٔ نسبت مشترک دنبالهٔ هندسی:
الف) جملهٔ عمومی دنباله را مشخص کنید.
ب) حاصل ${S_{10}}$ را بهدست آورید.
خواندنی
جواب تناقض (پارادوکس) زنو
همانطور که خوانده شد، مجموع $n$ جملهٔ اول یک دنبالهٔ هندسی از رابطهٔ ${S_n} = {a_1} \times \frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}}$ بهدست میآید. زمانی که نسبت مشترک عددی میان صفر و یک باشد، مقدار دنبالهٔ ${r^n}$ بسیار بسیارکوچک میشود و میتوانیم در حالتی که مجموع بیشمار جملات دنبالهٔ هندسی خواسته میشود، از مقدار آن صرف نظر کنیم. بنابراین:
${S_n} = {a_1}\frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}} \to {S_n} = {a_1}\frac {{1 -}{\cancel r^n}}{{1 - r}} = \frac{{{a_1}}}{{1 - r}}$
اکنون یک بار دیگر به قسمت پایانی استدلال زنو توجه کنید. اگر مطابق گفتهٔ او زمان رسیدن به در خروجی کلاس از رابطهٔ $T = t + \frac{t}{2} + \frac{t}{4} + ...$ بهدست آیدکه یک دنبالهٔ هندسی با نسبت مشترک $\frac{1}{2}$ است:
$ = t + \frac{t}{2} + \frac{t}{4} + ...$ زمان رسیدن به در خروجی کلاس
$ = \frac{{t(1 - {{(\frac{1}{2})}^n})}}{{1 - \frac{1}{2}}}$
چون $n$، تا بینهایت ادامه دارد و مقدار عدد ${{{(\frac{1}{2})}^n}}$ در بینهایت بسیار بسیار ناچیز است، از مقدار ${{{(\frac{1}{2})}^n}}$ میتوان صرفنظر کرد:
$ \frac{{t(1 - {{(\frac{1}{2})}^n})}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{t(1 - \cancel{{(\frac{1}{2})}^n})}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{t}{{\frac{1}{2}}} = 2t$
یعنی اگر برای نصف مسافت طی شده $t$ ثانیه زمان مصرف کرده اید، با فرض ثابت بودن سرعت شما، بقیهٔ مسافت را نیز در $t$ ثانیه و کل مسافت را در ${2t}$ ثانیه طی میکنید.
در واقع، اشتباه زنو این بود که میپنداشت اگر بیشمار جمله با هم جمع شوند، حاصل این بیشمار جمله باید بینهایت شود!
تمرین (صفحه 83 تا 85 کتاب درسی)
1) با نوشتن جملات رابطههای بازگشتی مشخص کنید کدام یک از آنها یک دنبالهٔ هندسی را تشکیل میدهد.
${a_{n + 1}} = {({a_n})^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_1} = \frac{1}{2}$ (1
${a_{n + 1}} = \frac{2}{3}{a_n}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_1} = \frac{1}{2}$ (2
${a_{n + 1}} = \frac{1}{{1 + {a_n}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_1} = 1$ (3
${a_{n + 1}} = 2{a_n}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_1} = 1$ (4
2) با توجه به مفهوم دنبالهٔ هندسی و نسبت مشترک جملات دنبالهٔ هندسی ثابت کنید هرگاه $c$ و $b$ و $a$ سه جملهٔ متوالی یک دنبالهٔ هندسی باشند، آنگاه $a \times c = {b^2}$. ($b$ را واسطهٔ هندسی میان $a$ و $c$ مینامند.)
3) اگر $x + 3$ و $x + 2$ و $x$ سه جملهٔ متوالی یک دنبالهٔ هندسی باشند، مقدار $x$ را بهدست آورید.
4) سرطان از تکثیر بیش از حد سلولها در بدن ایجاد میشود. در فردی که به سرطان سینه مبتلاست، از روشهای مختلفی از جمله شیمی درمانی برای از بین بردن سلولهای سرطانی استفاده میشود. در این روش معمولاً دارو چندین دفعه به بیمار تجویز میشود و هر بار درصدی از سلولهای سرطانی از بین میرود.
الف- اگر داروی شیمی درمانی هر بار % 60 سلولهای سرطانی فردی را از بین ببرد و اگر تودهٔ سرطانی او در ابتدا ${10^{12}}$ سلول داشته باشد، پس از 3 بار شیمی درمانی چه تعداد سلول سرطانی در بدن این فرد باقی میماند؟
ب- فرض کنید پس از اولین شیمی درمانی، رشد تودهٔ سرطانی متوقف شده است. برای اینکه این شخص بهطور کامل درمان شود، ابتدا باید تعداد سلولهای سرطانیاش به کمک شیمی درمانی کمتر از $7 \times {10^6}$ سلول شود و سپس با کوچک شدن تودهٔ سرطانی به کمک جراحی، باقی ماندهٔ سلولهای سرطانی او برداشته شود. برای این منظور، مطابق اطلاعات مسئله این شخص چند مرتبه باید شیمی درمانی شود؟
5) میان دو عدد $a$ و $b$، $n$ عدد را طوری قرار میدهیم که جملات دنبالهٔ شروع از $a$ و ختم به $b$ یک دنبالهٔ هندسی تشکیل دهند. ثابت کنید نسبت مشترک دنبالههای هندسی از رابطهٔ ${r^{n + 1}} = \frac{b}{a}$ بهدست میآید. (راهنمایی: تعداد کل جملات ($n + 2$) جمله است.)
6) جملهٔ سوم یک دنبالهٔ هندسی 27 و جملهٔ پنجم همین دنباله 243 است. جملهٔ هفتم این دنبالهٔ هندسی را بهدست آورید.
7) مستطیلی با اضلاع $a$ و $b$ مطابق شکل زیر مفروض است. اگر مربعی به ضلع $x$ هم مساحت با آن باشد، کدام یک از دنبالههای زیر تشکیل یک دنبالهٔ هندسی میدهند؟
الف) $x$ و $b$ و $a$
ب) $b$ و $x$ و $a$
پ) $x$ و $a$ و $b$
8) یک شهاب سنگ 15 هزار کیلوگرم وزن دارد. پس از ورود آن به جوّ زمین، در هر دقیقه % 15 از وزنش به سبب تماس با جو از بین میرود. پس از گذشت پنج دقیقه از ورود این شهاب سنگ به جوّ زمین، چقدر از وزن آن باقی میماند؟
9) شخصی پدر و مادر، دو پدر بزرگ و دو مادربزرگ، چهار پدر پدربزرگ و چهار مادر مادربزرگ و ... دارد.
الف- نیاکان این شخص در ده نسل قبلی چند نفر بودهاند؟ (نخستین نسل را پدر و مادر شخص در نظر بگیرید.)
ب- مجموع نیاکان این شخص از ده نسل قبل تا یک نسل قبل (یعنی پدر و مادر شخص) چند نفرند؟
10) مجموعهای زیر را بهدست آورید.
$1 + 4 + 16 + .... + 4096$ -الف
$\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{20}} + .... + \frac{1}{{640}}$ -ب
11) نخستین جملهٔ یک دنبالهٔ هندسی 1536 و نسبت مشترک این دنبالهٔ هندسی $\frac{1}{2}$ است. کدام جملهٔ دنباله برابر 6 است؟ مجموع جملات این دنباله از 1536 تا عدد 6 را بهدست آورید.
12) پس از تقسیم مربعی به ضلع یک متر به چهار مربع برابر، یکی از آنها را رنگ میکنیم. از مربعهای باقیمانده، مربعی را که با مربع رنگآمیزی شده ضلع مشترک ندارد،انتخاب میکنیم و با تقسیم آن به چهار مربع برابر، مربعی را که با مربع رنگ شده در یک رأس مشترک است، رنگآمیزی میکنیم و همین روند را مطابق شکل ادامه میدهیم.
الف- چرا دنبالهٔ مساحتهای مربعهای رنگی، یک دنبالهٔ هندسی را تشکیل میدهد؟
ب- اگر روند رنگآمیزی گفته شده را $n$ مرحله انجام دهیم، مجموع مساحتهای مربعهای رنگی از چه رابطهای بهدست میآید؟
پ- پس از شش مرحله رنگآمیزی مربع به روش بالا، چه مساحتی از مربع رنگ میشود؟
بازی و ریاضی
مربعهای زیر را با اعداد مثبت به گونهای پر کنید که هر سطر و هر ستون جدول زیر یک دنبالهٔ هندسی تشکیل بدهد.
